Помогите по аналитической геометрии
Написать уравнение плоскости, проходящую через точки A(1,-1,3), B(1,2,4) и перпендикулярной плоскости 2x-3y+z+1=0

Ответ:

Чтобы найти уравнение плоскости, проходящую через определенные точки и перпендикулярную другой плоскости, сначала найдем вектор нормали второй плоскости. Вторая плоскость имеет уравнение 2x - 3y + z + 1 = 0, следовательно, ее нормальный вектор N1=(2, -3, 1).

Так как искомая плоскость перпендикулярна данной, значит их нормальные векторы параллельны. Теперь найдем вектор AB. AB = B - A = (0, 3, 1).

Теперь возьмем кратное нормального вектора N1 и получим новый нормальный вектор для искомой плоскости: N2 = k * N1 = (2k, -3k, k).

Для нахождения значения k возьмем скалярное произведение векторов N2 и AB. Так как искомая плоскость перпендикулярна плоскости 2x-3y+z+1=0, скалярное произведение должно быть равно нулю:

N2 * AB = 0

(2k, -3k, k) * (0, 3, 1) = 0

2k * 0 + (-3k) * 3 + k * 1 = 0

-9k + k = 0

k=(-1/8)

Теперь мы знаем коэффициент k и можем найти нормальный вектор искомой плоскости:

N2 = (-1/4, 3/8, -1/8)

Теперь используем компоненты вектора N2 и координаты точки A для составления общего уравнения плоскости с помощью уравнения Ax+By+Cz+D=0:

( -1/4(x - 1) ) + ( 3/8(y + 1) ) + ( -1/8(z - 3) ) = 0

Домножаем уравнение на 8, чтобы избавиться от дробей:

-2(x - 1) + 3(y + 1) - (z - 3) = 0

Раскрыв скобки и сгруппировав:

-2x + 2 + 3y + 3 - z + 3 = 0

Следовательно, уравнение искомой плоскости имеет вид:

-2x + 3y - z + 8 = 0