Геометрия, вопрос задал alina4834 , 6 лет назад

Помогите очень срочно
Нужно сделать исследование функции и построить график

Приложения:

Ответы на вопрос

Ответил natalyabryukhova

Ответ:

1. х ∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞);

2. функция не является четной или нечетной, то есть - общего вида.

3. ось 0у не пересекает; ось 0х не пересекает;

4. x=0 - вертикальная асимптота; y = x - 1 - наклонная асимптота;

5. возрастает при х ∈ (-∞; -1]; [1; +∞);

убывает при х ∈ [-1; 0); (0; 1];

x max = -1; x min = 1*

6. выпуклая при х ∈ (-∞; 0);

вогнутая при х ∈ (0; +∞).

Объяснение:

$\displaystyle y=\frac{x^2-x+1}{x}$

1. ОДЗ: х≠0;

или х ∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞)

2. Четность, нечетность.

Если f(-x) = f(x) - функция четная, если f(-x) = -f(x) - функция нечетная.

$\displaystyle y(-x)=\frac{(-x)^2-(-x)+1}{-x}=-\frac{x^2+x+1}{x}\\\\y(-x)\neq y(x)\neq -y(x)$

⇒ функция не является четной или нечетной, то есть - общего вида.

3. Пересечение с осями.

1) х ≠ 0 ⇒ ось 0у не пересекает.

2) у = 0 ⇒

$\displaystyle x^2-x+1=0\\\\D=1-4*1*1=-3$

⇒ корней нет, то есть ось 0х не пересекает.

4. Асимптоты.

1) Вертикальная.

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x^2-x+1}{x}=\infty$

⇒ x=0 - вертикальная асимптота.

2) Наклонная: у = kx + b

$\displaystyle k= \lim_{x \to \infty} \frac{x^2-x+1}{x*x}= \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^2}{x^2}-\frac{x}{x^2}+\frac{1}{x^2} }{\frac{x^2}{x^2} } =1\\\\b= \lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^2-x+1}{x}-1*x\right)= \lim_{n \to \infty} \frac{x^2-x+1-x^2}{x}=\\\\= \lim_{x \to \infty} \frac{-\frac{x}{x}+\frac{1}{x} }{\frac{x}{x} }=-1$

⇒ y = x - 1 - наклонная асимптота.

5. Возрастание, убывание, экстремумы.

Найдем производную, приравняем к 0, найдем корни и отметим их на числовой оси. Определим знаки производной на промежутках. Если "+" функция возрастает, если "-" функция убывает.

$\displaystyle y'=\frac{(2x-1)*x-(x^2-x+1)*1}{x^2} =\\\\=\frac{2x^2-x-x^2+x-1}{x^2} =\frac{x^2-1}{x^2}=\frac{(x-1)(x+1)}{x^2}\\\\x=1;\;\;\;\;\;x=-1;\;\;\;\;\;x\neq 0$