Первый вариант дифференциальные уравнения

Отвечаю по Вашей просьбе

1. по условию дано уравнение с разделяющимися переменными

у'=dy/dx

разделим переменные, получим табличные интегралы.

-∫dx/(1+x²)=∫dy/(1+y²)

-arctgx+с=arctgy;

arctgx+arctgy=с- общий интеграл.

2. найдем корни характеристического уравнения

к²-6к+9=0; (к-3)²=0;  к₁,₂=3 - двукратный действительный корень, поэтому общее решение однородного уравнения ищем в виде

у=c₁е³ˣ+х*с₂е³ˣ

чтобы найти  коэффициенты с₁; с₂ найдем еще производную общего решения и подставим в функцию и ее производную начальные данные, получим

у=c₁е³ˣ+х*с₂е³ˣ

y'=3c₁e³ˣ+c₂e³ˣ+3xc₂e³ˣ

e⁰=1

_____________________

у(0)=c₁е⁰+0*с₂е⁰=2⇒c₁=2

y'(0)=3c₁e⁰+c₂e⁰+3*0e⁰=7⇒c₂=7-3*2=1

подставим в общее решение у=c₁е³ˣ+х*с₂е³ˣ  найденные значения с₁ и с₂, получим частное решение данного уравнения

уч=2е³ˣ+х*е³ˣ