Периметр прямоугольника равен 40 см. Если бы мы удлинили более короткую сторону прямоугольника на 1 см и более длинную сторону на 2 см, площадь прямоугольника увеличилась бы на 31 см². Рассчитайте размеры исходного прямоугольника.
​

Ответ:

Позначимо довжину більшої сторони ісходного прямокутника як \(x\), а меншої сторони як \(y\).

За даними, периметр прямокутника рівний 40 см:

\[2x + 2y = 40\]

А також, якщо більшу сторону збільшити на 2 см, а меншу на 1 см, площа збільшиться на 31 см²:

\[(x + 2)(y + 1) = xy + 31\]

Розглянемо систему рівнянь:

1. Рівняння для периметра:

\[2x + 2y = 40\]

2. Рівняння для збільшення площі:

\[(x + 2)(y + 1) = xy + 31\]

Розв'язавши цю систему рівнянь, ми можемо знайти значення \(x\) та \(y\). Давайте розв'яжемо:

1. Розв'язок рівняння для периметра:

\[2x + 2y = 40\]

\[x + y = 20\]

\[y = 20 - x\]

2. Підставимо це значення у рівняння для площі:

\[(x + 2)(y + 1) = xy + 31\]

\[(x + 2)((20 - x) + 1) = x(20 - x) + 31\]

\[(x + 2)(21 - x) = 20x - x^2 + 31\]

\[21x - x^2 + 42 - 2x = 20x - x^2 + 31\]

\[21x - 2x = 20x\]

\[x = 42\]

Тепер, ми можемо знайти \(y\):

\[y = 20 - x = 20 - 42 = -22\]

Однак фізично неможливо мати від'ємну довжину сторони прямокутника, отже, є якась помилка в початкових даних або у завданні. Будь ласка, перевірте дані і задачу.

Пошаговое объяснение:

х см - короткая сторона прямоугольника

у см - длинная сторона прямоугольника

Р=40 см

2x+2y=40 периметр

площадь S=xy

(х+1) см- длина нового прямоугольника

(у+2) см - ширина нового прямоугольника

S1=(x+1)(y+2)

система:

{2x+2y=40

{(x+1)(y+2)-xy=31

{х+у=20

{ху+2х+у+2-ху=31

{х=20-у

{2х+у=31-2

{х=20-у

{2х+у=29

2(20-у)+у=29

40-2у+у=29

-у=29-40

-у= -11

у=11 см - длинная сторона

х=20-11=9 см - короткая сторона

ответ: х=9 см ; у=11 см