Описать общее решение дифференциального уравнения и решить задачу Коши
y'+2y/x=x^2*sqrt(y)
y(1)=1

dy/dx + 2y/x = x^2*sqrt(y)

Для розвязання этого диференциального рівняння використамо метод інтегруючого множника. Спочатку знаходимо інтегруючий множник:

μ(x) = e^(∫ 2/x dx) = e^(2 ln|x|) = x^2

Множественно обиды части диференциального отношения на μ(x):

х^2 dy/dx + 2xy = х^4*sqrt(y)

Звернуть увагу, що множення на м(х) конується тільки для першoго доданка лівої частини, а не для всього диференциального рівняння.

Тепер проверяемо личную часть числа как последовательность от (x^2 * y) за x:

д/дх (х^2 * у) = х^2 dy/дх + 2ху

Другие, отличающиеся друг от друга значения могут быть записаны в поле зрения:

d/dx (x^2 * y) = x^4 * sqrt(y)

Нужно знать загальный розв'язок диференциального отношения, проинтегpуємо обиды частини відносно x:

∫ d/dx (x^2 * y) dx = ∫ x^4 * sqrt(y) dx

х^2 * у = (2/5) * х^5/2 + С

де С - довільна стала інтегрування.

Тепер, выкористовуючи початкову умову y(1) = 1, мы можем знайти значение C:

1 * 1 ^ 2 = (2/5) * 1 ^ (5/2) + С С = 3/5

Отже, загальный розв'язок диференциального рівняння має вигляд:

у = (2/5) * х^(5/2 - 2) + 3/(5х^2)

или

у = (2/5) * х^(1/2) + 3/(5х^2)