Окружность проходит через точки Р(4; -4) и Т(-4; 8). Напишите уравнение этой окружности, если отрезок РТ является ее диаметром.

Ответ:

Для знаходження уравнення окружності, проходження якої через точки P(4, -4) та T(-4, 8) та має діаметр PT, ми можемо використовувати серединну точку діаметру та використовувати відомості про радіус.

Спочатку, знайдемо середину діаметру PT. Середина між двома точками (x₁, y₁) та (x₂, y₂) задається формулою:

\[ (\frac{x₁ + x₂}{2}, \frac{y₁ + y₂}{2}) \]

Для P(4, -4) та T(-4, 8):

\[ (\frac{4 + (-4)}{2}, \frac{(-4) + 8}{2}) = (0, 2) \]

Це серединна точка. Радіус буде половиною довжини діаметру, тобто радіус \( r = \sqrt{(0-4)^2 + (2-(-4))^2} \).

Тепер, маючи центр (h, k) та радіус (r), можемо записати уравнення окружності:

\[ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \]

Підставимо значення:

\[ (x - 0)^2 + (y - 2)^2 = (-4)^2 + (2 - (-4))^2 \]

Спростимо:

\[ x^2 + (y - 2)^2 = 16 + 36 \]

Остаточно:

\[ x^2 + (y - 2)^2 = 52 \]

Отже, уравнення окружності, яка проходить через P(4, -4) та T(-4, 8) та має PT як діаметр, є \( x^2 + (y - 2)^2 = 52 \).