Алгебра, вопрос задал stomatik20053 , 1 год назад

Нерівності...........

Приложения:

Ответы на вопрос

Ответил Scythe1993

Ответ:

В объяснении

Объяснение:

$a^3+3a^2-13a+15>0\\a^3+3(a^2-4a+4)-a+3>0\\(a^3+1)+3(a-2)^2-a+2>0\\(a^3+1)+3(a-2)^2-a+2\geq (a+1)(a^2-a+1)-a+2\geq a(a+1)-a+2=a^2+2>0$ По поводу 2го пункта:

$\frac{a_{1}+a_{2}+a_{3} }{3 }\geq \frac{a_{1+2\sqrt{a_{2}a_{3}} }}{3}$

Надо доказать, что

$\frac{a_{1}+2\sqrt{a_{2}a_{3}} }{3 } \geq\sqrt[3]{a_{1}a_{2}a_{3}}$

Замена

$\left \{ {{a_{1}=x_{1}^3} \atop {a_{2}}a_{3}=x_{2}^6} \right.$

$x_{1}^3+2x_{2}^3\geq 3x_{1}x_{2}^2\\x_{1}^3-3x_{1}x_{2}^2+2x_{2}^{3}\geq 0\\(x_{1}-x_{2})(x_{1}^2+x_{1}x_{2}-2x_{2}^2)\geq 0\\(x_{1}-x_{2})^2(x_{1}+2x_{2})\geq 0$

Последнее неравенство очевидно

Scythe1993: Учтём, что неравенство Коши для 2 неизвестных уже доказано (это делается очень просто)

stomatik20053: Спасибо тебе друг

mathgenius: Интересно доказал неравенство коши для 3 степени. Впервые вижу чтобы так доказывали. Я доказывал с понижением для 4 степени. И через выражения куба суммы. Такое доказательство увидел впервые.

mathgenius: Мне почему то кажется что его не доказывать тут нужно , а применять. Это вроде указания к решению верхней задачи. Но точно не уверен

Scythe1993: Была история ещё в КПИ. Как то препод предположил, что неравенство Коши в общем случае можно доказать методом математической индукции. Я эту идею реализовал на практике. В данном случае это был частный случай для 3 неизвестных

mathgenius: Так в этом и есть идея понижения степени. Там некая двойная индукция получается.

mathgenius: Ну так я доказывал

mathgenius: Идея в том , что можно легко доказать для степени 2^n . А потом от нее шагать назад .

Ответил mathgenius

Мне кажется , что второе неравенство является указанием к решению первого.

Поэтому я бы решил тут так

Если a> 0 доказать , что

a^3+3*a^2+15>13a

a^3+3*a^2>13*a-15

a^3+3*a^2 +9*a > 22*a- 15

Используя неравенство Коши для 3 степени , что указано ниже :

a^3+3*a^2 +9*a >= 3*∛(27*a^6) =9*a^2

9*a^2> 22*a-15

9*a^2-22*a+15>0

D/4 = 11^2 -9*15 =121- 135<0

Поскольку ветви параболы идут вверх , то

9*a^2-22*a+15>0

a^3+3*a^2 +9*a > 9*a^2>22*a- 15

a^3+3*a^2+15>13a

Что и требовалось доказать

Примечание : заметим , что для a<0 неравенство не всегда выполено.

Контр пример : a=-10

-1000 +300+15>-130

-685>-130 ( что неверно)

Ну и все таки покажу как бы я доказал неравенство Коши для 3 степени .

Сначала докажем для 4 степени используя неравенство для 2 степени

(a1+a2+a3+a4)/4 = ( (a1+a2)/2 +(a3+a4)/2)/2 >= √((a1+a2)/2)*((a3+a4)/2)>=

>= √(√(a1*a2) *√(a3*a4) ) =(a1*a2*a3*a4)^(1/4)

(a1+a2+a3+a4)/4>= (a1*a2*a3*a4)^(1/4)

Пусть : a4= (a1+a2+a3)/3

(a1+a2+a3+a4)/4 = (a1+a2+a3 +(a1+a2+a3)/3 )/4 =(4*(a1+a2+a3)/3)/4= =(a1+a2+a3)/3

(a1+a2+a3)/3 >= (a1*a2*a3*(a1+a2+a3)/3)^1/4

( (a1+a2+a3)/3)^4 >= a1*a2*a3 * (a1+a2+a3)/3

((a1+a2+a3)/3)^3 >= a1*a2*a3

(a1+a2+a3)/3>=∛(a1*a2*a3)

Что и требовалось доказать

mathgenius: Идея в том , что если знаешь как доказать для n степени , то знаешь как доказать и для всех предыдущих степеней. Используя тот переход что я написал . То есть делается подстановка : xn = ( x1+x2+xn-1)/(n-1) . Ну а поскольку для степени 2^n доказывается очень просто , как я и написал выше . То хождением назад мы можем доказать для всех степеней.

mathgenius: xn= (x1+x2+x3...+xn-1)/n *

mathgenius: То есть метод мат индукции , только обратный от k=2^n до k= n .

Предыдущий вопрос

Следующий вопрос

Новые вопросы

Українська мова, 1 год назад

У кожного з вас друзі є найпотаємніша найсвітліша мрія про майбутнє ким бути один напевно хоче стати льотчиком другий металургом третій комбайнером четвертий учителем адже безліч світлих доріг перед...

Английский язык, 1 год назад

СРОЧНО ДАМ 30 БАЛЛОВ! Ask as mane questions as you can to the sentence, there are a lot of wonderful cities in Ukraine...

Математика, 1 год назад

Довжина дослідної ділянки 34 м,а ширина - 24 м. 1/4 площі займають огірки,помідори і цибуля, а решту - картопля.Яку площу займає картопля?

Алгебра, 1 год назад

Решите предел по алгебре...

Физика, 6 лет назад

пожалуйста помогите ...

Физика, 6 лет назад

У каструлю наливають 5 повних склянок холодної води при температурі 14,8°Сі 3 повних склянок гарячої води при температурі 88,1°С. Яка температура встановиться в каструлі? Теплоємністю каструлі...