Нехай дiйснi числа x,y i z
задовольняють одночасно двi рiвностi:
(x+y)(х ^2+ у^2+2z)=1
(х ^2 +z) ^2 +z(x+y) ^2=1
Доведiть, що тодi виконується нерiвнiсть (у^2 +z) ^2 +z(x+y) ^2 ≥ z
З’ясуйте, коли в цiй нерiвностi досягається рiвнiсть.
Ответы на вопрос
Ответил Матов
0
Сделаем замену
![x^2+z=a \
y^2+z=b](https://tex.z-dn.net/?f=+x%5E2%2Bz%3Da+%5C%0A+y%5E2%2Bz%3Db++%0A++ "x^2+z=a \
y^2+z=b")
тогда система
![a^2+z(x+y)^2=1 \
(x+y)(a+b)=1](https://tex.z-dn.net/?f=+a%5E2%2Bz%28x%2By%29%5E2%3D1+++++++++++++%5C+++++%0A+%28x%2By%29%28a%2Bb%29%3D1++ "a^2+z(x+y)^2=1 \
(x+y)(a+b)=1")
Надо доказать
Из системы выразив
Получим , что надо доказать
![frac{ -2a(x+y)+(x+y)^2+1 }{(x+y)^2} geq frac{ (1-a^2) }{ (x+y)^2 } \](https://tex.z-dn.net/?f=+frac%7B+-2a%28x%2By%29%2B%28x%2By%29%5E2%2B1++++++++%7D%7B%28x%2By%29%5E2%7D++geq++++frac%7B+%281-a%5E2%29+%7D%7B+%28x%2By%29%5E2+%7D+++++++++++++++++++++++++++++++++%5C%0A++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++%0A++++++++++++ "frac{ -2a(x+y)+(x+y)^2+1 }{(x+y)^2} geq frac{ (1-a^2) }{ (x+y)^2 } \")
что верно , так как квадрат не может быть отрицательным
![(y^2+z)^2+z(x^2+z) = z \
(x+y)(x^2+y^2+2z)=1 \
(x^2+z)^2+z(x+y)^2=1](https://tex.z-dn.net/?f=%28y%5E2%2Bz%29%5E2%2Bz%28x%5E2%2Bz%29++%3D+z+%5C%0A%28x%2By%29%28x%5E2%2By%5E2%2B2z%29%3D1+%5C%0A%28x%5E2%2Bz%29%5E2%2Bz%28x%2By%29%5E2%3D1++++++++++ "(y^2+z)^2+z(x^2+z) = z \
(x+y)(x^2+y^2+2z)=1 \
(x^2+z)^2+z(x+y)^2=1")
![y=z=0\
x*(x^2)=1\
x=1](https://tex.z-dn.net/?f=y%3Dz%3D0%5C%0A+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++x%2A%28x%5E2%29%3D1%5C%0A++++++++++++++++++x%3D1 "y=z=0\
x*(x^2)=1\
x=1")
Равенство достигается при
В целых числах
тогда система
Надо доказать
Из системы выразив
Получим , что надо доказать
что верно , так как квадрат не может быть отрицательным
Равенство достигается при
В целых числах
Новые вопросы