Найти (в градусах) φ = arg z , если z = ( 1 − i √ 3 ) 20 , − 180 ° < φ ≤ 180 °

Найти (в градусах) φ = arg z , если z = ( 1 − i √ 3 ) 20 , − 180 ° < φ ≤ 180 °.

Дано комплексное число в алгебраической форме в виде произведения.

Правило умножения комплексного числа на действительное:

λ(x+iy)=λx+iλy.

Получаем: z = ( 20 − i 20√3 ) .

1. Находим тригонометрическую форму комплексного числа  

z = 20-20*√3*i.

Действительная часть числа x:

x = Re(z) = 20.

Мнимая часть числа y:

  y = Im(z) = -20√3.

Модуль комплексного числа |z|:

|z| = √(x² + y²) = √(20² + (-20√3)²) = √(400 + 1200) = √1600 = 40.

Поскольку x > 0, y < 0, то arg(z) находим как:

arg(z) = φ = 2π – arctg(|y|/x).

φ = 2π – arctg(|-20√3|/20) = 2π – (π/3) = 5π/3.

Таким образом, тригонометрическая форма комплексного числа z = 20-(20*√3)*i имеет вид:

z = 40(cos(5π/3) + i*sin(5π/3)).

Главным значением аргумента называется число φ ∈ (-π; π).

Это значение уже определено и равно  arctg(|-20√3|/20) =  – (π/3) = -60º.

2. Находим показательную форму комплексного числа  

z = 20-(20*√3)*i:

  z=|z|e^(iφ) = 40*e^((5π/3)*i).