Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: y=x², y=x+2, y=0​

Відповідь:

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = x², y = x + 2 и y = 0, вам нужно определить точки их пересечения и затем интегрировать соответствующую функцию площади от одной из горизонтальных осей. Давайте это сделаем.

1. Сначала найдем точки пересечения:

  y = x² и y = x + 2 пересекаются в точках, где x² = x + 2. Решим это уравнение:

  x² - x - 2 = 0.

  (x - 2)(x + 1) = 0.

  Отсюда получаем две точки пересечения: x = 2 и x = -1.

2. Теперь определим, между какими x-значениями находится область, которую мы хотим измерить. Она ограничена точками -1 и 2.

3. Для нахождения площади между кривыми и осью x воспользуемся интегралом. В данном случае, мы интегрируем разницу между y = x + 2 и y = x² от x = -1 до x = 2:

  ∫[frоm -1 to 2] (x + 2 - x²) dx.

4. Вычислим этот определенный интеграл:

  ∫[from -1 to 2] (2 - x²) dx.

  = [2x - (x³/3)] |[from -1 to 2].

  Подставляем верхний и нижний пределы:

  (2*2 - (2³/3)) - (2*(-1) - ((-1)³/3)).

  = (4 - 8/3) - (-2 + 1/3).

5. Вычисляем значения и упрощаем:

  (12/3 - 8/3) - (-6/3 + 1/3).

  = (4/3) - (-5/3).

  = 4/3 + 5/3.

  = 9/3.

  = 3.

Итак, площадь фигуры, ограниченной линиями y = x², y = x + 2 и y = 0, составляет 3 квадратных единицы.

Пояснення: