Найдите углы ромба ABCD, если его сторона равна 6 см, а большая диагональ 6√3 см.

Ответ:

∠1 = 60°; ∠2= 120°; ∠3 = 60°;  ∠4= 120°.

Объяснение:

Задание

Найдите углы ромба ABCD, если его сторона равна 6 см, а большая диагональ 6√3 см.

Решение

Для решения задачи воспользуемся следующими свойствами диагоналей  ромба:

1) диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам;

2) диагонали ромба пересекаются под углом 90°;

3) диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

1) В прямоугольном треугольнике, образованном пересечением диагоналей и стороной ромба:

- сторона ромба (6 см) является гипотенузой;

- половина большей диагонали (6√3 : 2 = 3√3 см) катетом.

2) Рассчитаем косинус угла α образованного стороной ромба и большей диагональю:

cos α = 3√3 / 6 = √3/2,

α = arccos √3/2 = 30°.

3) ∠1 = 2α = 30° · 2 = 60°.

4) Так как сумма углов ромба, прилежащих к одной стороне, равна 180°, то ∠2 = 180 - 60 = 120 °.

5) Противоположные углы ромба равны:

∠3 =∠1 = 60°.

∠4 =∠2= 120°.

Ответ: ∠1 = 60°; ∠2= 120°; ∠3 = 60°;  ∠4= 120°.

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом, в точке пересечения делятся пополам. Значит, половина большей диагонали равна 6√3/2=3√3/см/, а половина меньшей диагонали √(6²-(3√3)²)=

√(36-27)=3/см/, т.е. равна половине стороны ромба.  Тогда угол между большей диагональю и стороной ромба 30°, т.к. против угла в 30° лежит катет, /половина меньшей диагонали 3см/, равный половине гипотенузы /стороне ромба 6см/. А угол между сторонами ромба в два раза больше, чем угол между стороной ромба и большей диагональю,  т.е. 60°, т.к. большая диагональ является биссектрисой внутреннего угла ромба. противолежащий этому углу тоже 60°, а два других угла ромба по 120°, т.к. прилежащие к одной стороне углы ромба составляют в сумме 180°, противолежащие углы равны. значит, в ромбе два тупых угла по 120° и два острых по 60°.

Ответ 60°; 60°; 120°; 120°.