Алгебра, вопрос задал aikobiko , 9 лет назад

Найдите площадь треугольника, образованного прямой y=2-x, осью Ox и касательной, проведенной к графику y=1+2x-x^2 в точке x0=0. Спасибо

Ответы на вопрос

Ответил kalbim

1) Найдем уравнение касательной:
$Y=y(a)+y'(a)*(x-a)$
$y(x)=-x^{2}+2x+1$
$y(x_{0})=y(0)=1$
$y'(x)=-2x+2$
$y'(0)=2$

$Y=1+2x$

2) Начертим графики функций:
$y=2x+1$
$y=2-x$
$y=0$
(см. рисунок, прикреплен)

3) Площадь фигуры найдем через интеграл. Для этого необходимо найти точки пересечения графиков:
3.1) $2x+1=2-x$
$3x=1$
$x= frac{1}{3}$
3.2) $2x+1=0$
$x=-frac{1}{2}$
3.3) $2-x=0$
$x=2$

4) Площадь треугольника равна:
$S= intlimits^{frac{1}{3}}_{-0.5} {(2x+1)} , dx +intlimits^{2}_{frac{1}{3}} {(2-x)} , dx=(x^{2}+x|^{frac{1}{3}}_{-0.5})+(2x- frac{x^{2}}{2}|^{2}_{frac{1}{3}})=(frac{1}{9}+frac{1}{3}-frac{1}{4}+frac{1}{2})+(4-2-frac{2}{3}+frac{1}{18})=frac{1+3-2}{9}+frac{-1+2+8}{4}+frac{1}{18}=frac{7}{18}+frac{9}{4}=frac{95}{36}$

Приложения: