Алгебра, вопрос задал hyzenex , 11 месяцев назад

Найдите наибольшее значение выражения 4(ctg²b+sin²b+cos²b)sin⁴b

Ответы на вопрос

Ответил Artem112

1

Ответ:

Наибольшее значение рассматриваемого выражения равно 4.

Решение:

Упростим выражение. Для этого воспользуемся основным тригонометрическим тождеством и следствием из него:

$4(\mathrm{ctg}^2\,b+\sin^2b+\cos^2b)\sin^4b=4(\mathrm{ctg}^2\,b+1)\sin^4b=$

$=4\cdot\dfrac{1}{\sin^2b} \cdot\sin^4b=4\cdot\sin^2b=4\sin^2b$

Данное преобразование выполнено при $\sin b\neq 0$ .

Известно, что функция $y=\sin x$ принимает свои значения из отрезка от -1 до 1. Соответственно, функция $y=\sin^2 x$ принимает свои значения из отрезка от 0 до 1.

То есть:

$0\leqslant \sin^2b\leqslant1$

Умножая все части неравенства на 4, получим:

$4\cdot0\leqslant 4\cdot\sin^2b\leqslant4\cdot1$

$0\leqslant 4\sin^2b\leqslant4$

Однако заметим, что преобразованное выражение имело ограничение $\sin b\neq 0$ , связанное с областью определения котангенса. Поэтому:

$0 < 4\sin^2b\leqslant4\ (\sin b\neq 0)$

На наибольшее значение выражения данное замечание не повлияло, но, тем не менее, само множество значений изменилось.

Окончательно запишем:

$0 < 4(\mathrm{ctg}^2\,b+\sin^2b+\cos^2b)\sin^4b\leqslant4$

Следовательно, наибольшее значение рассматриваемого выражения равно 4.

Элементы теории:

Основное тригонометрическое тождество:

$\sin^2\alpha +\cos^2\alpha =1$

Если левую и правую часть этиго соотношения разделить на $\sin^2\alpha \neq 0$ , то получим:

$\dfrac{\sin^2\alpha }{\sin^2\alpha} +\dfrac{\cos^2\alpha }{\sin^2\alpha} =\dfrac{1 }{\sin^2\alpha}$

$1+\mathrm{ctg}^2\,\alpha =\dfrac{1 }{\sin^2\alpha}$

soskachlenov: У тебя такие решения классные

soskachlenov: Я бы тебе отсосала

soskachlenov: И дала бы в писю

Предыдущий вопрос

Следующий вопрос

Новые вопросы

Химия, 11 месяцев назад

Запишіть рівняння дисоціації електролітів і розташуйте елек- троліти за порядком зменшення кількості утворених йонів: а) цинк бромід; в) калій йодид; б) хром(ІІІ) хлорид; г) алюміній...

Биология, 11 месяцев назад

СРОЧНО ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА...

Алгебра, 11 месяцев назад

Щоб отримати з графіка функції у = х² графік функції у = x² - 7 потрібно початковий графік перенести на 7 одиничних вiдрiзкiв:...

Геометрия, 11 месяцев назад

Установіть відповідність між тригонометричною функцією і її значенням для відповідного кута. 1. Синус 150°. А. -1/2. 2. Косинус 180°. Б. 1/2. 3. Синус 90°. В. -1. 4. Косинус 120°. Г. 1.

История, 6 лет назад

какие работы выполняли крестьяне на барщине...

Математика, 6 лет назад

Робо-ежи бывают доверчивыми и подозрительными. Известно, что доверчивый робо-ёж показывает мордочку и всегда говорит правду, а подозрительный лежит свернувшись, сначала лжёт, но сразу после этого...