Натуральное число при делении на 5 даёт в остатке 4. Докажите, что сумма куба этого числа и его квадрата делится на 5.

Пусть перед нами натуральное число n. По условию при делении на 5 оно дает в остатке 4. То есть , где - некотрое целое число. Перепишем равенство в виде . Теперь возведем n в куб и квадрат:

Посчитаем сумму куба и квадрата нашего числа n:

Убедимся, что эта сумма делится на 5. Для этого просто вынесем 5 за скобку:

Правая часть равенства, очевидно, делится на 5. Тогда и левая часть тоже делится на 5 (это следует из свойств делимости), то есть делится на 5. Что и требовалось доказать.