Написати канонічне рівняння прямої х+у+z-2=0; x-y-2z+2=0

Написати канонічне рівняння прямої х+у+z-2=0; x-y-2z+2=0.

Направляющий вектор “p” нашей прямой ортогонален нормальным векторам n1 и n2 плоскостей. А если  , то вектор «p» найдём как векторное произведение векторов нормали:  .

Из уравнений плоскостей {x+y+z-2=0

                                              {x-y-2z+2=0

снимаем их векторы нормали:  n1(1; 1; 1), n2(1; -1; -2).

И находим направляющий вектор p прямой d, перпендикулярный двум заданным с помощью векторного произведения.

I       j     k|      I      j

1     1      1|      1      1

1    -1    -2|      1     -1  = -2i + 1j - 1k + 2j + 1i – 1k = -1i + 3j -2k.

Вектор p = (-1; 3; -2).

Можно применить готовую формулу для определения направляющего вектора линии пересечения двух плоскостей.

p ⃗(|■(B_1&C_1@B_2&C_2 )||■(C_1&A_1@C_2&A_2 )||■(A_1&B_1@A_2&B_2 )|)

p = (1*(-2) – 1*(-1); 1*1-1*(-2); 1*(-1)-1*1) = (-1; 3; -2).

Далее надо найти точку на прямой.

Так как линия пересекает плоскость хОу, то в этой точке координата z = 0.

Поэтому в системе уравнений нужно обнулить координату z.  

Пусть z = 0, тогда получаем систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:  {x+y-2=0

                            {x-y+2=0.

Почленно складываем уравнения и находим решение системы:

2x  = 0,

x = 0,

y = 2 – х = 2 – 0 = 2.

Таким образом, точка M(0; 2; 0) принадлежит данной прямой.  

Выполним проверку: подставим координаты точки M(0; 2; 0) в исходную систему уравнений:

{x+y+z-2=0          0+2+0-2=0  0=0

{x-y-2z+2=0     0-2-2*0+2=0    0=0.

Получены верные равенства, значит, действительно, M ∈ d.

Тогда по точке М и направляющему вектору составляем уравнение прямой:

x/(-1) = (y – 2)/2 = z/(-2).