Написать уравнение прямой проходящее через точку M(3, 2, 5) которая перпендикулярна плоскости ABC.
A(1, 1, 1)
B(4, 2, 3)
C(5, 3, 2)

Ответ: 3x – 5y – 2z + 11 = 0.

Пошаговое объяснение:

Сначала составим уравнение плоскости по точкам А, В и С.

x – xA           y – yA        z – zA

xB – xA       yB – yA      zB – zA

xC – xA       yC – yA        zC - zA = 0

Подставим данные и упростим выражение:

x – 1             y – 1           z – 1

4 – 1              2 – 1          3 – 1

5 – 1              3 – 1          2 - 1 = 0

x – 1             y – 1           z – 1

 3                   1                2

4                    2                1 = 0

(x – 1)(1·1-2·2) – (y – 1)(3·1-2·) + (z – 1)(3·2-1·4) = 0

(-3)(x – 1)+ 5(y – 1) + 2(z – 1) = 0

- 3x + 5y + 2z - 4 = 0 или с положительным коэффициентом при переменной х: 3x - 5y - 2z + 4 = 0.

Отсюда определяем координаты нормального вектора:

(3; -5; -2).

Этот вектор будет направляющим вектором для прямой.

По точке M(3, 2, 5) и вектору составляем уравнение прямой.

3(x – 3) – 5(y – 2) – 2(z - 5) = 0

3x – 9 – 5y + 10 – 2z + 10 = 0

3x – 5y – 2z + 11 = 0.