как перевести корень в десятичную дробь?
например корень из двух перевести в 1,41421 без калькулятора?

Объяснение построим как раз на примере извлечения корня из 2. Можно использовать один из двух подходов:

1)

Достаточно легко сообразить, что 1 < √2 < 2, так как 1 < 2 < 4.

Заметим, что √2 = 0,1·√200 и найдем между какими квадратами находится число 200. Очевидно, что 14² < 200 < 15² (На всякий случай: 14² = 196, а 15² = 225), поэтому 14 < √200 < 15 | · 0,1

1,4 < √2 < 1,5, то есть мы получили более точную оценку для √2. Вместо 200 можно взять 20000, а далее повторить те же действия что и для 200: √2 = 0,01·√20000; 141² < 20000 < 142²; 1,41 < √2 < 1,42.

Так можно получить сколь угодно точную оценку для √2, но процесс этот весьма трудоемок для ручных вычислений.

2)

Для более эффективной работы можно использовать так называемую итеративную формулу:

В нашем случае a = 2;

Берем в качестве x₀ = 1 (то есть в формуле полагаем n = 1) получаем:

У нас получилось x₁ = 1,5 (а n в формуле становится равным 2). Получаем:

У нас получилось x₂ ≈ 1,42 (n = 3). Сделаем еще один шаг:

С каждым новым шагом, результат вычислений будет все более точным приближением √2

Для сравнения приведем значение √2 вычисленное на калькуляторе:

√2 ≈ 1,414213562