Математика, вопрос задал bob5168 , 2 года назад

Изобразить на комплексной плоскости множество точек z удовольтворяющих условию |z - i|+|z + i| = 2

Ответы на вопрос

Ответил igorShap

Пусть $\Re z=x, \Im z=y$

$|x+i(y-1)|+|x+i(y+1)|=2\\ \sqrt{x^2+(y-1)^2}+\sqrt{x^2+(y+1)^2}=2\\ x^2+(y-1)^2+x^2+(y+1)^2+2\sqrt{x^2+(y-1)^2}\sqrt{x^2+(y+1)^2}=4\\ 2x^2+2y^2+2\sqrt{x^4+x^2(2y^2+2)+(y^2-1)^2}=2\\ \sqrt{(x^2+(y^2-1))^2+4x^2}=-(x^2+(y^2-1))\Rightarrow -(x^2+(y^2-1))\geq 0\;\;(1)$

Возводя в квадрат, получим:

$(x^2+(y^2-1))^2+4x^2=(x^2+(y^2-1))^2\\ 4x^2=0\Rightarrow x=0$

Подставляя $x=0$ в $(1)$ , получим: $y^2-1\leq 0\Rightarrow |y|\leq 1\;\;\;(2)$

Подставляя $x=0$ в исходное уравнение, получим

$\sqrt{(y-1)^2}+\sqrt{(y+1)^2}=2\\ |y-1|+|y+1|=2$

Тогда, с учетом $(2)$ , получаем $1-y+y+1=2\Rightarrow 2=2$ - верное равенство.

А значит мн-во точек с координатами $(0,y), |y|\leq 1$ удовлетворяют уравнению.

Тогда мн-во точек, удовлетворяющих условию |z - i|+|z + i| = 2, имеет вид $\{z\in C | \Re z=0,-1\leq \Im z\leq 1\}$ - отрезок, соединяющий точки $(0;-1),(0;1)$

Приложения:

igorShap: С ростом значения правой части эллипс будет растягиваться, а для значений меньше 2 решений в принципе не будет

igorShap: Это легко увидеть, использовав оценку суммы модулей: |z - i|+|z + i|>=|(z-i)-(z+i)|=|-2i|=2.

bob5168: а в как , я это на графике могу показать или лучше отдельно записать ,что это вырожденный случай ?

igorShap: Ну, я же не знаю, что и как от Вас требуют) Я в решении не использовал факт того, что это уравнение эллипса, а потому, соответственно, особого смысла в написании данного факта лично я не вижу. Но если у Вас задачи на тему эллипса, и данный факт в лекциях доказан - да, можете указать. Но тогда и мой подход, в принципе, неэффективен

bob5168: Просто при проверке преподавателем данного задания ,она сказала : " что тут должен получиться элипс " .Вот поэтому я и уточнил , как лучше поступить

igorShap: Ну, преподаватель - тоже человек) Возможно, просто не обратила внимание на значение правой части.
Ну, а, вообще, в таком случае, да, тогда стоит написать

bob5168: и снова я вас потревожу , я все расписал и показал учителю , но ответ был тем же " что это элипс "

igorShap: Вы оценку суммы модулей приводили?

bob5168: Да

igorShap: Будьте настойчивее, попробуйте еще раз обратить внимание на этот факт.
Каких-то иных идей я, увы, предложить не могу

Предыдущий вопрос

Следующий вопрос

Новые вопросы

Английский язык, 1 год назад

Write sentences. Use the past simple of the verbs 7 задание!!! СРОЧНООО...

Русский язык, 1 год назад

напишите сочинение-рассуждение на тему ответсвенность...

Математика, 2 года назад

Нужна помощь. Заранее спасибо.

Биология, 2 года назад

1. В гене аденина 20%, гуанина 900 оснований. Сколько в нем тимидиловых нуклеотидов (абсолютное количество)?

Геометрия, 7 лет назад

даю 20 балловТреугольники АВС и КМС подобны, стороны треугольника кмс в 4 раза меньше сторон треугольника авс. Площадь треугольника авс равна 16. Найдите площадь треугольника кмс...

Математика, 7 лет назад

Назовите формулу, раскрывающую механический смысл производной Выберите один ответ: a.S(t)= v '(t) b. y = f '(x) c. v(t)=S'(t) d. k = f '(x)...

Изобразить на комплексной плоскости множество точек z удовольтворяющих условию |z - i|+|z + i| = 2​

Ответы на вопрос

Изобразить на комплексной плоскости множество точек z удовольтворяющих условию |z - i|+|z + i| = 2