Геометрия 9 класс.
Дано:
BD высота.
AE = EB.
BF = FC
Доказать:
А) Угол EBF = EDF
Б) EF перпендикулярно BD
Спасибо.
Ответы на вопрос
Пошаговое объяснение: высота BD делит треугольник на два прямоугольных треугольника, для которых AE и AF-медианы соотвественно первого и второго. А как мы знаем медианы в прямоугольных треугольниках равны половине гипотенузы, отсюда следует что AE=EB и AF=FB. Мы получилм два равнобедрененных треугольника AEB и AFB, углы у общего основания, конечно же, равны, отюсда следует что угол(EBF)=углу(EDF).
Насчёт пункта Б я не уверен что данных хватает.
Мой чертеж - во вложении.
1) Докажем сначала пункт Б).
Т.к. по условию Е-середина АВ, F-середина ВС, то EF-средняя линия ΔАВС. ⇒ FE║AC.
Т.к. BD-высота, то BD⊥AC ⇒ BD⊥FE (если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и второй прямой). Доказано.
2) Докажем равенство углов EBF и EDF. Пусть BD и EF пересекаются в точке М.
По теореме Фалеса: т.к. FE║AC и F-середина ВС, то М-середина BD.
⇒ в Δ BED EМ-это медиана и высота. ⇒ Δ BED-равнобедренный ⇒ BE=ED.
Аналогично доказывается, что Δ BFD-равнобедренный ⇒ BF=FD.
Рассмотрим Δ EBF и Δ EDF. По доказанному выше они равны по трём сторонам (BE=ED, BF=FD, EF-общая). ⇒∠EBF=∠EDF. Доказано.
