Две прямые, проходящие через точку М, лежащую вне окружности с центром О, касаются окружности в точках А и В. Отрезок ОМ делится окружностью пополам. В каком отношении отрезок ОМ делится прямой АВ?
Решил, но доказать кое-что не могу

См. рисунок в приложении
АМ=МВ- по свойству касательных проведенных из одной точки
ОА⊥AM
OB⊥BM
Треугольники ОАМ и  ОВМ - прямоугольные
ОА=ОВ=R
ОС=R
По условию
ОС=СM
Значит ОМ=2R
В проямоугольном треугольнике ОАM катет ОА равен половине гипотенузы ОM, значит угол АМО равен 30°.
Угол АОМ равен 60°
Проведем АВ. Хорда АВ в точке К делится пополам ( треугольники АОК и ВОК равны по двум сторонам и углу между ними: АО=ОВ; ОК - общая,

∠АОМ=∠ВОМ = 60°), значит хорда перепендикулярна радиусу ОС

Треугольник АОК - прямоугольный и ∠ОАК=30°
ОК=R/2 
КМ=2R-(R/2)=3R/2
ОК:КМ=R/2 : (3R/2)=1:3