Алгебра, вопрос задал Justillya , 3 месяца назад

Довести, що 9^(n+1)−8n−9
ділиться на 16 для всіх натуральних n.

Ответы на вопрос

Ответил Ivan19074

Ответ:

Объяснение:

Метод №1.

Сначала давайте разложим на множители $9^{n+1}-9$ :

$9^{n+1}-9=9(9^{n+1}:9-9:9)=9(9^n-1)$ .

Исследуем остатки от деления выражения $9^n$ на 16. Итак, поскольку $9^2\equiv1\,(\text{mod 16})$ , а при любых натуральных $t$ $1^t=1$ , $9^n$ при чётных $n$ при делении на 16 будет давать остаток 1, а следовательно, $(9^n-1)$ будет делится на 16 а из этого следует и то, что $9(9^n-1)-8n$ , то есть всё выражение, делится на 16 ( $8n$ , при чётных $n$ , также делится на 16).

Теперь рассмотрим нечётные значения $n$ . При нечётных значениях $n$ $9^n\equiv9\,(\text{mod 16})$ , следовательно, $9(9^n-1)\equiv9*(9-1)\equiv8\,(\text{mod 16})$ .

При нечётных $n$ выражение $8n\equiv8\,(\text{mod 16})$ , следовательно, всё выражение $9(9^n-1)-8n\equiv 8-8\equiv 0\,(\text{mod 16})$ . То есть, при любых натуральных значениях $n$ выражение делится на 16, следовательно, задача решена!

Метод №2.

Дано $f(x)=9^{n+1}-8n-9$ . Давайте вычислим значение $f(x+1)-f(x)$ :

$f(x+1)-f(x)=9^{n+2}-8(n+1)-9-(9^{n+1}-8n-9)=9^{n+2}-8n-17-9^{n+1}+8n+9=(9^{n+2}-9^{n+1})-8=9^{n+1}(9-1)-8=8*(9^{n+1}-1)$ .

Поскольку числа $9^{n+1}$ и 1 всегда нечётные, то их разность будет чётной, следовательно, $8*(9^{n+1}-1)$ всегда делится на $8\times2=16$ .

Ну и последний шаг. $f(0)=9-0-9=0$ , что делится на 16. Поскольку разница между $f(1)$ и $f(0)$ также делится на 16, то и $f(1)$ делится на 16. Аналогично легко показать, что при любых $n$ значение функции делится на 16.