Геометрия, вопрос задал mathgenius , 9 лет назад

Докажите что в произвольном многоугольника любая сторона не больше суммы остальных сторон.

Ответы на вопрос

Ответил Матов

Положим что многоугольник выпуклый, то есть можно провести диагонали, обозначим первую вершину $A_{1}$ , вторую $A_{2}$ , третью $A_{3}$ , $A_{4};A_{5};A_{6}...A_{n}$ соответственно .
Проведем диагонали из вершины $A_{1}$ к остальным вершинам соответственно , тогда из неравенство треугольников получим неравенства
$A_{1}A_{2}<A_{1}A_{3}+A_{2}A_{3}\A_{1}A_{3}<A_{1}A_{4}+A_{3}A_{4}\A_{1}A_{4}<A_{1}A_{5}+A_{4}A_{5}\....\A_{1}A_{n-1}<A_{1}A_{n}+A_{n-1}A_{n}$
заметим что в каждом слагаемом есть тот член, который есть в последующем но она меньше суммы двух других , условливаясь что они равны то есть $A_{1}A_{3}=A_{1}A_{4}+A_{3}A_{4}$ (это означает что треугольник не вырожденный) и подставляя получим требуемое то есть
$A_{1}A_{2}<A_{2}A_{3}+A_{3}A_{4}+...+A_{1}A_{n}$
что уже говорит о случае $A_{1}A_{3}<A_{1}A_{4}+A_{3}A_{4}$