Докажите, что расстояние от вершины треугольника до любой точки противолежащей стороны меньше половины периметра треугольника.

Пусть дан треугольник АВС, пусть К - любая точка на стороне ВС, докажем что расстояние АК (от вершины А до любой точки К на противоположной стороне ВС)

меньше половины периметра треугольника, т.е. (AB+BC+CA)/2 

Из неравенства треугольника

АК<AC+CK

AK<AB+BK

2AK<AC+CK+AB+BK

2AK<AC+BC+AB

AK<(AC+BC+AB)/2, что и требовалось доказать

Доказано.