докажите, что касательные, проведенные из продолжения общей хорды двух пересекающихся окружностей к этим окружностям , равны

Доказывается с использованием теоремы о касательной и секущей. В данном случае секущая - хорда и её продолжение.
По этой теореме квадрат длины касательной равен произведению длины продолжения на сумму длин хорды и продолжения.
Исходя из этого касательные к одной и другой окружности будут равны.