Докажите что числа 4n+1 и  5n+1 взаимно простые

Предположим, что они не взаимно простые. Тогда есть число k, на которое делятся оба числа:

4n+1=ak; 5n+1=bk (a, b, k - целые).

Домножим первое уравнение на 5/4 и вычтем из него второе, получится:

1/4 = 5/4ak - bk; 1 = k(5a-4b).

Отсюда k может быть только ±1, т.е. числа взаимно простые.