Нужно доказать, что если числа a, b и с неотрицательны, то
![\dfrac{a+b+c}{3}\ge \sqrt[3]{abc},](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdfrac%7Ba%2Bb%2Bc%7D%7B3%7D%5Cge+%5Csqrt%5B3%5D%7Babc%7D%2C "\dfrac{a+b+c}{3}\ge \sqrt[3]{abc},")
причем равенство превращается тогда и только тогда, когда a=b=c. Воспользуемся способом, с помощью которого доказывается так называемая теорема Мюрхеда. Я не буду формулировать эту теорему, поскольку мое изложение не предполагает таких знаний.
Введем новые обозначения: ![\sqrt[3]{a}=x;\ \sqrt[3]{b}=y;\ \sqrt[3]{c}=z;](https://tex.z-dn.net/?f=%5Csqrt%5B3%5D%7Ba%7D%3Dx%3B%5C+%5Csqrt%5B3%5D%7Bb%7D%3Dy%3B%5C+%5Csqrt%5B3%5D%7Bc%7D%3Dz%3B "\sqrt[3]{a}=x;\ \sqrt[3]{b}=y;\ \sqrt[3]{c}=z;")
неравенство, написанное раньше, превращается в 
По некоторым техническим соображениям перепишем его в виде
Доказательство проведем в два этапа: сначала докажем, что 
а затем - что 
Для доказательства первого неравенства перенесем все слагаемые налево и сгруппируем так:
(вспомним, что мы рассматриваем только неотрицательные числа!), причем неравенство превращается в равенство только если x=y=z.
Доказываем второе неравенство. Для этого снова все переносим в левую часть:
причем неравенство превращается в равенство только если x=y=z. На этом доказательство неравенства Коши между средним арифметическим и средним геометрическим трех положительных чисел завершено.