Математика, вопрос задал tаtyana , 2 месяца назад

Доказать неравенство Коши между средним арифметическим и средним геометрическим с помощью тригонометрии.

Ответы на вопрос

Ответил yugolovin

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Неравенство Коши выглядит так: если a и b - положительные числа, то

$\dfrac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}.$

Иногда его записывают ещё в виде

$a+b\ge 2\sqrt{ab}.$

При этом неравенство превращается в равенство тогда и только тогда, когда a=b. Условие положительности a и b можно заменить на более демократичное условие неотрицательности. Конечно, неравенство Коши справедливо не только для двух чисел, но и для произвольного набора, состоящего из n неотрицательных чисел, но мы ограничимся случаем двух чисел.

Рассмотрим сначала частный случай, когда

$a > 0,\ b=\dfrac{1}{a}.$

Иными словами, когда

ab=1.

В этом случае неравенство Коши принимает вид

$a+\dfrac{1}{a}\ge 2.$

Докажем это неравенство. Как известно, каждое положительное число является тангенсом некоторого угла из первой четверти:

$a={\rm tg}\, x,\ x={\rm arctg}\, a.$

А тогда $\dfrac{1}{a}$ будет котангенсом того же угла, поэтому

$a+\dfrac{1}{a}={\rm tg}\, x+{\rm ctg}\, x=\dfrac{\sin x}{\cos x}+\dfrac{\cos x}{\sin x}=\dfrac{\sin^2 x+\cos^2 x}{\sin x\cdot \cos x}=\dfrac{2}{2\sin x\cdot \cos x}=\dfrac{2}{\sin 2x}.$

Поскольку в знаменателе стоит положительная величина, не превосходящая единицы, мы делаем вывод, что дробь не может быть меньше 2, причем равна 2 тогда и только тогда, когда

$\sin 2x=1;\, 2x=\dfrac{\pi}{2};\, x=\dfrac{\pi}{4};\, a={\rm tg}\, \dfrac{\pi}{4}=1.$