Математика, вопрос задал slawaschauro98 , 6 лет назад

Добрый день. Помогите пожалуйста доказать с помощью математической индукции. Спасибо.

$(n+1)(n+2)...(n+n)=2^{n} 13*5...(2n-1)$

yugolovin: Без индукции проще доказывается

Ответы на вопрос

Ответил yugolovin

Сначала докажем формулу без индукции. Левая часть

$(n+1)(n+2)\ldots (n+n)=\frac{(2n)!}{n!}$

Правая часть

$2^n\cdot (2n-1)!!=\frac{2^n\cdot (2n)!}{(2n)!!}=\frac{2^n\cdot (2n)!}{2^n\cdot n!}=\frac{(2n)!}{n!}.$

Замечание. $n!=n\cdot (n-1)\cdot \ldots \cdot 2\cdot 1; (2n)!!=2n\cdot (2n-2)\cdot\ldots\cdot 4\cdot 2$

$(2n-1)!!=(2n-1)\cdot (2n-2)\cdot\ldots\cdot 3\cdot 1.$

Теперь по индукции. При n=1 формула верна: (1+1)=2 ·1; 2=2. Пусть при некотором n $(n+1)(n+2)\ldots (n+n)=2^n\cdot 1\cdot 3\cdot (2n-1);$ докажем, что

$((n+1)+1)((n+1)+2)\ldots ((n+1)+(n+1))=2^{n+1}\cdot 1\cdot 3\cdot \ldots\cdot (2(n+1)-1),$

то есть $(n+2)(n+3)\ldots 2n\cdot (2n+1)\cdot(2n+2)=2^{n+1}\cdot 1\cdot 3\cdot\ldots (2n-1)\cdot (2n+1).$

Преобразуем левую часть:

$\frac{((n+1)(n+2)\ldots 2n)\cdot (2n+1)\cdot (2n+2)}{n+1}=\frac{2^n\cdot (2n-1)!!\cdot(2n+1)\cdot 2\cdot (n+1)}{n+1}=2^{n+1}\cdot (2n+1)!!.$

Формула доказана.

Предыдущий вопрос

Следующий вопрос

Новые вопросы

Английский язык, 1 год назад

Мне нужно сочинение про город Кембридж не меньше 15 предложений. Помогите плиииииз!

Математика, 1 год назад

вычислите: (3 1/4 + 2 1/6) : 2 3/5 - 2/3 * 2 1/4 + 5 1/6...

Математика, 6 лет назад

Задание 1 (10 баллов). Найдите все натуральные числа k, кратные 9, при которых будет верным неравенство: 102 < k < 135. Обоснуйте своё решение, используя признак делимости.

Математика, 6 лет назад

Помогите пожалуйста 6 класс. Полное решение:)))...

Биология, 8 лет назад

Помогите мне пожалуйста с этим...

Математика, 8 лет назад

Решите уравнение 7(3х + 6) = 2 х + 98.