Диаметр окружности с центром в точке О и радиусом 12 см пересекает хорду МК в точке Е и делит хорду пополам. Найдите расстояние от центра окружности до точки пересечения диаметра в хорды, если центральный угол МОК=120°.

Так как хорда МК делится диаметром на две равные части, то точка пересечения диаметра в хорду должна быть симметрична точке Е относительно центра окружности О. Обозначим эту точку как F

Также заметим, что треугольник ОМК является равносторонним, так как центральный угол МОК равен 120 градусов. Тогда сторона ОМ равна 12 см.

Теперь рассмотрим треугольник ОФЕ. Он является прямоугольным (так как ОФ -- радиус окружности, а ЕФ -- хорда, проходящая через центр), и мы знаем один катет (ОФ = 12 см). Найдем второй катет:

EF = MK/2 = (2 ОФ sin(МОО'))/2 = ОФ sin(МОО'),

где МОО' -- угол между диаметром и хордой МК.

Угол МОО' равен половине центрального угла, то есть 60 градусов. Тогда sin(МОО') = sin(60°) = sqrt(3)/2.

Значит, EF = 12 sqrt(3)/2 = 6 sqrt(3) см.

Наконец, применяем теорему Пифагора для треугольника ОФЕ:

ОF^2 = ОЕ^2 - EF^2

ОF^2 = 12^2 - (6 sqrt(3))^2

ОF^2 = 144 - 108

ОF^2 = 36

ОF = 6 см.

Таким образом, расстояние от центра окружности до точки пересечения диаметра в хорду равно 6 см.