ДАЮ 50 БАЛЛОВ
Доказать, что при любом натуральном k, 2*7^k + 1 кратно 3
Пжжжж
Ответы на вопрос
Ответ: решение ниже
Пошаговое объяснение:
Для доказательства воспользуемся методом математической индукции:
Базовый шаг: При k = 1, имеем 2*7^1 + 1 = 15, что является кратным 3.
Предположение индукции: Пусть утверждение верно для k = n, т.е. 2*7^n + 1 кратно 3.
Индукционный шаг: Докажем, что утверждение верно для k = n+1. Рассмотрим выражение 2*7^(n+1) + 1:
2*7^(n+1) + 1 = 2*7^n * 7 + 1 = (2*7^n + 1) * 7.
По предположению индукции, 2*7^n + 1 кратно 3, значит, оно может быть записано в виде (3*m), где m - целое число.
Тогда (2*7^n + 1) * 7 = (3*m) * 7 = 3 * (7m), что также является кратным 3.
Мы доказали, что если утверждение верно для k = n, то оно верно и для k = n+1.
Відповідь:
Покрокове пояснення:
Доказательство:
Доказательство проводится методом математической индукции.
Основной шаг:
Для k = 1, имеем:
2 * 7^1 + 1 = 15
15 кратно 3, так как 15 = 3 * 5.
Переходный шаг:
Пусть утверждение верно для некоторого натурального k. Тогда:
2 * 7^k + 1 = 3m,
где m - натуральное число.
Тогда:
2 * 7^{k + 1} + 1 = 2 * 7 * 7^k + 1 = 2 * 7 * (3m + 1) = 14m + 14 = 12m + 2m + 14 = 3(4m + 4) + 1.
Таким образом, утверждение верно и для k + 1.
Заключение:
По условию математической индукции, утверждение верно для всех натуральных k.
Итог:
При любом натуральном k, 2*7^k + 1 кратно 3.
Доказательство другим способом:
2 - это нечетное число, а 7 - простое четное число. Таким образом, 2*7^k - четное число, которое делится на 2.
Кроме того, 7^k - натуральное число, которое делится на 3 или не делится на 3.
Если 7^k делится на 3, то 2*7^k + 1 - четное число, которое делится на 2 и на 3, то есть кратно 3.
Если 7^k не делится на 3, то 2*7^k + 1 - четное число, которое делится на 2 и на 7.
В любом случае, 2*7^k + 1 кратно 3.