Даны координаты вершин пирамиды A ( 4, 16, – 6 ), B ( – 18, – 19, – 15 ), C ( 1, 12, 4 ), D ( – 5, 9, 2 ).
1. Найти расстояние от точки D до прямой АВ.
2. Найти проекцию точки D на прямую АВ (точку Р), модуль вектора DP и сравнить результат с п.1
Ответы на вопрос
Даны координаты вершин пирамиды
A(4, 16, – 6 ), B(– 18, – 19, – 15 ), C(1, 12, 4 ), D(– 5, 9, 2 ).
1. Найти расстояние от точки D до прямой АВ.
2. Найти проекцию точки D на прямую АВ (точку Р), модуль вектора DP и сравнить результат с п.1.
1) Находим вектор АВ.
АВ = B(– 18, – 19, – 15 ) - A(4, 16, – 6) = (-22; -35; -9).
Уравнение АВ: (x + 18)/(-22) = (y + 19)/(-35) = (z + 15)/(-9).
Решение:
Формула: d = |M0M1×s|
|s|
Из уравнения прямой получим:
s = (-22; -35; -9) - направляющий вектор прямой;
M1 = ( -18; -19; -15) - точка лежащая на прямой.
Тогда
M0M1 = {M1x - M0x; M1y - M0y; M1z - M0z} =
{-18 - (-5); -19 - 9; -15 – 2} = (3; -28; -17).
Площадь параллелограмма, лежащего на двух векторах M0M1 и s:
S = |M0M1 × s|
M0M1 × s =
i j k
-13 -28 -17
-22 -35 -9 =
= i(-28·(-9) - (-17)·(-35)) - j(-13·(-9) - (-17)·) =
= (-343; 257; -161).
Зная площадь параллелограмма и длину стороны найдем высоту (расстояние от точки до прямой):
d = |M0M1×s|
|s|
= √((-343)² + 257² + (-161)²)
√((-22)² + (-35)² + (-9)²) = √209619 / √1790 =
= ( 3 / 1790) ·√41690890 ≈ 10,82153.
2) Из найденных канонических уравнений прямой АВ выделим координаты направляющего вектора этой прямой: (-22; -35; -9), который будет являться нормальным вектором плоскости α, перпендикулярной прямой АВ. Тогда →n = (-22; -35; -9) – нормальный вектор плоскости α. Таким образом, уравнение плоскости α, включающей точку D(– 5, 9, 2 ) будет иметь вид
-22(x – (-5)) – 35(y – 9) – 9(z – 2) = 0.
Теперь найдём проекцию точки D на полученную плоскость.
Выразим уравнение прямой АВ в параметрическом виде.
x = -22t – 18,
y = -35t – 19,
z = -9t – 15.
И подставим в уравнение плоскости.
-22((-22t – 18) – (-5)) – 35((-35t – 19) – 9) – 9((-9t – 15) – 2) = 0.
484t + 286 + 1225t + 980 + 81t + 153 = 0.
1790t = -1419.
t = -0,79273743.
Найденное значение t = -0,79273743 подставим в параметрические уравнения прямой АВ и получаем координаты точки Р как проекции точки D на полученную плоскость:
x(Р) = -22*(-0,79273743) – 18 = -0,55978,
y(Р) = -3*(-0,79273743) – 19 = 8,74581,
z(Р) = -9*(-0,79273743) – 15 = -7,86536.
Теперь по координатам точек D и Р находим длину высоты DР.
Вектор DР = Р(-0,5597; 8,74581; -7,86536) - D(– 5, 9, 2 ) =
= (4,440223464 -0,254189944 -9,865363128).
Его модуль (длина) равен:
|DР| = √(4,440223464² + (-0,254189944)² + (-9,865363128)²) =
= √(19,71558441 + 0,064612528 + 97,32538966) =
= √117,1055866 = 10,82153347.
Как видим, результат определения длины высоты DР двумя методами совпадает.