Даны функции вида f(x) = x^2+2x+6, g(x) = -2x+10, h(x) = 5x+10. Функция f(x) ⋂ g(x) в точках C и D. Функция f(x) ⋂ h(x) в точках B и E. Функция g(x) ⋂ h(x) в точке А. Найти сумму площадей треугольников ABC ADB и AEC. В ответ записать первые 8 цифр результата.

Ответ:

f(x) = - х2 + 2х – 3

g(x) = x2+ 2

Уравнение касательной к графику функции в точке х0 имеет вид:

у = f’(x0) (x – x0) + f(x0)

1. Составим уравнение касательной к графику f(x) = - х2 + 2х – 3:

Пусть касательная проходит через точку х0 = с:

f’(x) = (- х2 + 2х – 3)’ = - 2x + 2

f’(c) = -2c + 2

f(c) = - c2 + 2c – 3

Уравнение касательной:

у = (-2с + 2) (х – с) - c2 + 2c – 3 = -2сх + 2с2 + 2х - 2с - c2 + 2c – 3 = (2 - 2с)х + с2 – 3

у = (2 - 2с)х + с2 – 3

2. Составим уравнение касательной к графику g(x) = x2+ 2:

Пусть касательная проходит через точку х0 = а:

g’(x) = (x2+ 2)’ = 2x

g’(а) = 2а

g(а) = а2 + 2

Уравнение касательной:

у = 2а (х – а) + а2 + 2 = 2ах – 2а2 + а2 + 2 = 2ах - а2 + 2

у = 2ах - а2 + 2

3. Т.к. искомая касательная едина для двух функций, то

2 – 2с = 2а

с2 – 3 = - а2 + 2

Решим систему уравнений.

а = 1 – с

подставим во второе уравнение:

с2 – 3 = - (1 – с)2 + 2

с2 – 3 = - 1 + 2с – с2 + 2

с2 – 3 + 1 - 2с + с2 – 2 = 0

2с2 – 2с – 4 = 0

с2 – с – 2 = 0

(с + 1) (с - 2) = 0

с1 = - 1

с2 = 2

Тогда:

а1 = 2

а2 = - 1

Таким образом, графики функций имеют 2 общие касательные:

у = 4х – 2

у = -2х + 1