Дано:МО=ON, KN параллельно МР . Доказать : КМ параллельно NP

так как KN║MP то ∠KNM=∠NMP как накрест лежащие 
MO=ON - по условию
∠KON=∠MOP как противолежащие

Получается, что  ΔKON=ΔMOP по второму признаку равенства треугольников

Значит KN=MP 
Тогда в четырехугольнике  KMPN  стороны КN║MP и KN=MP согласно третьему признаку параллелограмма (Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.) четырехугольнике  KMPN -параллелограмм, а значит стороны 
КМ ║ NP