Дано координати вершин піраміди: A(8; -2; 5), B(-5; 9; -6), C(2; -4; -3), D(1; -7; 2). Знайти: 1) довжину ребра АD, 2) кут між ребрами АC і АD, 3) площу грані АСB, 4) об'єм піраміди
Ответы на вопрос
Дано координати вершин піраміди: A(8; -2; 5), B(-5; 9; -6), C(2; -4; -3), D(1; -7; 2). Знайти:
1) довжину ребра АD.
2) кут між ребрами АC і АD.
3) площу грані АСB.
4) об'єм піраміди.
1) Находим вектор АD.
АD = D(1; -7; 2) - A(8; -2; 5) = (-7; -5; -3).
Его модуль равен √((-7)² + (-5)² - (-3)²) = √(49 + 25 + 9) = √83.
Получаем уравнение ребра АD.
AD: (x – 8)/(-7) = (y + 2)/(-5) = (z – 5)/(-3).
2) Находим вектор АC.
АC = C(2; -4; -3) - A(8; -2; 5) = (-6; -2; -8).
Его модуль равен √((-6)² + (-2)² - (-8)²) = √(36 + 4 + 64) = √104.
Скалярное произведение векторов АD и АС равно:
AD · AC = ADx · ACx + ADy · ACy + ADz · ACz = -7 · -6 + -5 · -2 + -3 · -8 =
= 42 + 10 + 24 = 76.
Найдем угол между векторами:
cos α = AD · AC
|AD||AC|
cos α = 76/(√83*√104) = 76/(2√2158) = 38/√2158 = 38√2158/2158 = 19√2158/1079 ≈ 0,818008613
Угол равен arccos 0,818008613 = 0,612855922 радиан или 35,11405775 градуса.
3) Площадь грани АCB.
Вектор АC = (-6; -2; -8) (см.п.2).
Находим вектор АB = B(-5; 9; -6) - A(8; -2; 5) = (-13; 11; -11).
Площадь равна половине модуля векторного произведения АC на АB.
i j k| i j
-6 -2 -8| -6 -2
-13 11 -11| -13 11 = 22i + 104j - 66k - 66j + 88i - 26k =
= 110i + 38j - 92k.
ACxAB = (110; 38; -92).
S = (1/2)√((110)² + 38² + (-92)²) = (1/2)√(12100 + 1444 + 8464) = (1/2)√22008 =
= (1/2)*2√5502 = √5502 ≈ 74,17547 кв. ед.
4) Объем пирамиды V = (1/6)*[ACxAB]*AD =
= (1/6)* |(110; 38; (-92))*(-7; -5;-3)| = (1/6)*|(-770 - 1901 + 276) |= 684/6 =
= 114 куб. ед.