Діагональ рівнобічної трапеції є бісектрисою її тупого кута. Знайдіть середню лінію трапеції, якщо різниця її основ дорівнює 5 см, а периметр 75 см

Ответ:

Позначимо основи трапеції як \(a\) (менша основа) та \(b\) (більша основа). Периметр трапеції дорівнює сумі всіх її сторін:

\[P = a + b + 2d\]

де \(d\) - середня лінія трапеції.

Також, з описаної умови ми знаємо, що діагональ трапеції є бісектрисою тупого кута. Тобто, \(d\) ділить тупий кут трапеції на два прямих кути, тому вона утворює прямий кут з однією з основ (припустимо, з основою \(a\)).

Таким чином, \(d\) дорівнює половині різниці основ:

\[d = \frac{b - a}{2}\]

Тепер використаємо інформацію про периметр трапеції:

\[75 = a + b + 2d\]

Підставимо вираз для \(d\):

\[75 = a + b + 2 \cdot \frac{b - a}{2}\]

Спростимо вираз:

\[75 = a + b + (b - a)\]

Розкриємо дужки:

\[75 = b + b\]

\[75 = 2b\]

Розв'яжемо для \(b\):

\[b = \frac{75}{2} = 37.5\]

Тепер можемо знайти значення \(a\):

\[a = b - 5 = 37.5 - 5 = 32.5\]

Тепер використовуємо вираз для середньої лінії \(d\):

\[d = \frac{b - a}{2} = \frac{37.5 - 32.5}{2} = 2.5\]

Отже, середня лінія трапеції дорівнює 2.5 см.