Чотирикутник ABCD, у якого AB = AD і BC = CD, зігнули по діагоналі BD під кутом 90°. Площі трикутників ABD і BCD, що при цьому утворилися, дорівнюють 40 см² i 75 см². Знайдіть відстань мiж точками А і С, якщо BD = 10 см.
Ответы на вопрос
Ответил darinahnedko
2
Можливо я десь помилилася ,
За теоремою Піфагора в правильному чотирикутнику ABCD сторона AC дорівнює:AC^2 = AB^2 + BC^2 = AD^2 + CD^2
Також ми знаємо, що площі трикутників ABD і BCD становлять 40 см² і 75 см² відповідно. За формулою для площі трикутника:
S = 1/2 * a * h
де a - сторона трикутника, а h - висота, опущена на цю сторону.
Нехай h1 - висота трикутника ABD, а h2 - висота трикутника BCD, що проведена на BD. Вони обидві розбивають діагональ BD на дві частини, t і (10-t), де t - відстань від точки A до прямої BD.
Тоді за формулою для площі ABD:
40 = 1/2 * AB * h1
або
h1 = (80/AB) см
А за формулою для площі BCD:
75 = 1/2 * BC * h2
або
h2 = (150/BC) см
Використовуючи подібні трикутники ABD і BCD, ми можемо знайти пропорції між їх сторонами та висотами:
h1/h2 = AB/BC = AD/CD
А за умовою задачі, AB = AD і BC = CD, тому:
h1/h2 = 1/1
Отже, h1 = h2.
Таким чином, t/h1 = (10-t)/h2, що можна переписати як:
t/(80/AB) = (10-t)/(150/BC)
або
t(BD^2)/(80*BC) = (10-t)(BD^2)/(150*AB)
або
t(10-t)/(12*AB) = 5/6
або
-t^2 + 10t - 40AB = 0
З цього рівняння можна знайти значення t, а потім підставити його у формулу для відстані AC:
t = (10 + sqrt(100 + 160AB)) / 2
AC^2 = AB^2 + BC^2 + 2AB*t
Підставляючи значення для t, ми отримуємо:
AC^2 = AB^2 + BC^2 + AB*(10 + sqrt(100 + 160AB))
А за умовою задачі AB = AD і BC = CD, тому:
AC^2 = AD^2 + CD^2 + AD*(10 + sqrt(100 + 160AD))
Можна спростити це рівняння до вигляду квадратного рівняння:
2AC^2 - 11AC*AD - 40AD^2 = 0
Розв'язуючи його, ми отримуємо:
AC = (11/4)*AD або AC = (-5/2)*AD
Оскільки сторона не може мати від'ємну довжину, то отримуємо:
AC = (11/4)*AD
Підставляючи значення BD = 10 см, ми можемо знайти значення AD і BC:
AD^2 = AB^2 + BD^2/2 = AB^2 + 50
BC^2 = CD^2 + BD^2/2 = CD^2 + 50
А за умовою задачі AB = AD і BC = CD, тому:
2AB^2 = AD^2 + BC^2 + 100
Підставляючи AD^2 = AB^2 + 50 and BC^2 = AB^2 + 50, ми отримуємо:
4AB^2 = 2AB^2 + 200
або
AB = sqrt(100) = 10 см
Тоді ми можемо знайти відстань між точками А і С:
AC = (11/4)*AD = (11/4)*sqrt(150) ≈ 19,73 см
Отже, відстань між точками А і С приблизно дорівнює 19,73 см.
За теоремою Піфагора в правильному чотирикутнику ABCD сторона AC дорівнює:AC^2 = AB^2 + BC^2 = AD^2 + CD^2
Також ми знаємо, що площі трикутників ABD і BCD становлять 40 см² і 75 см² відповідно. За формулою для площі трикутника:
S = 1/2 * a * h
де a - сторона трикутника, а h - висота, опущена на цю сторону.
Нехай h1 - висота трикутника ABD, а h2 - висота трикутника BCD, що проведена на BD. Вони обидві розбивають діагональ BD на дві частини, t і (10-t), де t - відстань від точки A до прямої BD.
Тоді за формулою для площі ABD:
40 = 1/2 * AB * h1
або
h1 = (80/AB) см
А за формулою для площі BCD:
75 = 1/2 * BC * h2
або
h2 = (150/BC) см
Використовуючи подібні трикутники ABD і BCD, ми можемо знайти пропорції між їх сторонами та висотами:
h1/h2 = AB/BC = AD/CD
А за умовою задачі, AB = AD і BC = CD, тому:
h1/h2 = 1/1
Отже, h1 = h2.
Таким чином, t/h1 = (10-t)/h2, що можна переписати як:
t/(80/AB) = (10-t)/(150/BC)
або
t(BD^2)/(80*BC) = (10-t)(BD^2)/(150*AB)
або
t(10-t)/(12*AB) = 5/6
або
-t^2 + 10t - 40AB = 0
З цього рівняння можна знайти значення t, а потім підставити його у формулу для відстані AC:
t = (10 + sqrt(100 + 160AB)) / 2
AC^2 = AB^2 + BC^2 + 2AB*t
Підставляючи значення для t, ми отримуємо:
AC^2 = AB^2 + BC^2 + AB*(10 + sqrt(100 + 160AB))
А за умовою задачі AB = AD і BC = CD, тому:
AC^2 = AD^2 + CD^2 + AD*(10 + sqrt(100 + 160AD))
Можна спростити це рівняння до вигляду квадратного рівняння:
2AC^2 - 11AC*AD - 40AD^2 = 0
Розв'язуючи його, ми отримуємо:
AC = (11/4)*AD або AC = (-5/2)*AD
Оскільки сторона не може мати від'ємну довжину, то отримуємо:
AC = (11/4)*AD
Підставляючи значення BD = 10 см, ми можемо знайти значення AD і BC:
AD^2 = AB^2 + BD^2/2 = AB^2 + 50
BC^2 = CD^2 + BD^2/2 = CD^2 + 50
А за умовою задачі AB = AD і BC = CD, тому:
2AB^2 = AD^2 + BC^2 + 100
Підставляючи AD^2 = AB^2 + 50 and BC^2 = AB^2 + 50, ми отримуємо:
4AB^2 = 2AB^2 + 200
або
AB = sqrt(100) = 10 см
Тоді ми можемо знайти відстань між точками А і С:
AC = (11/4)*AD = (11/4)*sqrt(150) ≈ 19,73 см
Отже, відстань між точками А і С приблизно дорівнює 19,73 см.
Новые вопросы