Геометрия, вопрос задал arina1404ap98 , 9 лет назад

Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 20 и 25, а основание BC равно 5. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.

Ответы на вопрос

Ответил Матов

Обозначим вершины трапеций $ABCD$ , опустим биссектрису $DE$ , так что $AE=BE=10$ .
Заметим что если опустить параллельную $AB$ , отрезок $CG$ .
Получим параллелограмм $ABCG$ , так что $BC=5 ; AG=5$ .
Треугольник $DNG$ подобен треугольнику $DEA$ .
По свойству биссектрисы в треугольнике $DGC$ получим
$frac{CN}{NG}=frac{25}{DG}\ CN+NG=20\\$
из подобия треугольников получим
$frac{DG}{5+DG}=frac{NG}{10}\ 10DG = 5NG+NG*DG\ DG*CN=25*NG\ CN+NG=20\\ 10DG=5(20-CN)+(20-CN)DG\ DG*CN=25*(20-CN)\\ 100-5CN+10DG-CN*DG=0\ DG*CN=500-25CN\\ DG=15$
то есть большее основание равно $AD=20$ , по формуле площадь трапеций можно найти по формуле
$S=frac{5+20}{4(20-5)}*$ $sqrt{(30+20-20)(25-20-25)(30-20-20)(20+25+15)}$ $=250$
Ответ $250$