Бічне ребро правильної чотирикутної піраміди дорівнює 2 см, плоский кут при вершині дорівнює а. Знайти об єм піраміди.​

Відповідь:

Об'єм піраміди дорівнює третині площі основи по висоті. Площа основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює квадрату сторони основи, поділеному на два. Висота піраміди дорівнює бічному ребру, помноженому на косинус кута при вершині.

Отже, об'єм піраміди дорівнює:

V = 1/3 * S * H = 1/3 * (2^2 / 2) * 2 * cos(a) = 2 * cos(a)

Знайдемо косинус кута при вершині:

cos(a) = 1 - 2 * sin^2(a/2)

З формули Герона для площі трикутника випливає, що:

S = √(4 * 2^2 * 2^2 - (2 * 2 * cos(a))^2)

Підставивши цю формулу в першу формулу, отримаємо:

V = 2 * √(4 * 2^2 * 2^2 - (2 * 2 * cos(a))^2) * cos(a)

Це вираз можна перетворити до вигляду:

V = 2 * √(16 - 8 * cos^2(a)) * cos(a)

Це вираз не може бути визначеним, якщо cos(a) = ± √2/2. Тобто, кут при вершині піраміди повинен бути відмінним від ± 45°.

Якщо 0° < a < 45°, то:

V = 2 * √(16 - 8 * cos^2(a)) * cos(a) = 2 * √(16 - 8 * (1 - sin^2(a))) * sin(a) = 2 * √(24 * sin^2(a)) * sin(a) = 4 * 2 * sin^3(a) = 8 * sin^3(a)

Якщо 45° < a < 90°, то:

V = 2 * √(16 - 8 * cos^2(a)) * cos(a) = 2 * √(16 - 8 * (cos(a))^2) * cos(a) = 2 * √(16 - 8 * (√2/2)^2) * (√2/2) = 2 * √(16 - 8) * (√2/2) = 2 * √8 * (√2/2) = 4 * √2 * sin(a) = 8 * sin(a) * √2

Отже, об'єм піраміди дорівнює 8 * sin^3(a), якщо 0° < a < 45°, і 8 * sin(a) * √2, якщо 45° < a < 90°.

Пояснення: