a) Побудувати область D, обмежену лініями y=x,x+y=2,x=-1;
б) записати подвійний інтеграл [[f(x,y)dxdy за (D) допомогою повторного (двома способами);
в) знайти площу області D.​

Ответ:

a) Щоб побудувати область D, обмежену лініями y = x, x + y = 2 і x = -1, ми можемо розглянути їх графіки і визначити область перетину.

Лінія y = x - це діагональна пряма, що проходить через початок координат і має кут нахилу 45 градусів.

Лінія x + y = 2 можна переписати у вигляді y = 2 - x. Це пряма з відрізком на вісі ординат, перетинаючим його в точці (0, 2), і має кут нахилу -1.

Лінія x = -1 - вертикальна пряма, яка проходить через точку (-1, 0).

Точки перетину цих ліній:

1. Лінія y = x перетинає лінію x + y = 2 в точці (1, 1).

2. Лінія y = x перетинає лінію x = -1 в точці (-1, -1).

Таким чином, область D обмежена лініями x = -1, y = x і x + y = 2 і виглядає як трикутник з вершинами в точках (-1, -1), (1, 1) і (-1, 2).

b) Для обчислення подвійного інтегралу [[f(x,y)dxdy за областю D, можемо скористатися повторним інтегруванням за двома способами - спочатку за змінною x, а потім за змінною y, або навпаки.

Подвійний інтеграл [[f(x,y)dxdy за D спочатку за змінною x, а потім за змінною y записується так:

∫∫f(x,y)dxdy, де інтегрування проводиться спочатку по x, а потім по y.

Альтернативно, подвійний інтеграл [[f(x,y)dxdy за D спочатку за змінною y, а потім за змінною x записується так:

∫∫f(x,y)dydx, де інтегрування проводиться спочатку по y, а потім по x.

c) Щоб знайти площу області D, можна обчислити площу трикутника з вершинами (-1, -1), (1,