9. Знайти проміжки монотонності, точки екстремуму і екстремуми функції.

f(x) = x4- 5x2 + 4

Ответ:

x = 0;   x = -√(5/2);   x = √(5/2) - критические точки.

Функция возрастает на промежутках: [-√(5/2); 0],   [√(5/2); +∞)

Функция убывает на промежутках: (-∞; [-√(5/2],   [0; [√(5/2)]

x min = ±√(5/2);     x max = 0

Объяснение:

Найти промежутки монотонности, точки экстремума и экстремумы функции.

f(x) = x⁴- 5x² + 4

Найдем производную, приравняем к нулю и найдем корни.

f'(x) = 4x³ - 5 · 2x = 4x³ - 10x

f'(x) = 0   ⇒   4x³ - 10x = 0

2x (2x² - 5) = 0

2x (√2 x - √5)(√2 x + √5)

x = 0;   x = -√(5/2);   x = √(5/2) - критические точки.

Отметим их на числовой оси и определим знаки производной на промежутках.

• Если "+" - функция возрастает, если "-" - функция убывает.

Функция возрастает на промежутках: [-√(5/2); 0],   [√(5/2); +∞)

Функция убывает на промежутках: (-∞; [-√(5/2],   [0; [√(5/2)]

• Если производная меняет знак с плюса на минус, то в данной точке наблюдается максимум, если с минуса на плюс, то в данной точке  - минимум.

⇒ x min = ±√(5/2);     x max = 0