6. При яких значеннях х числа х - 2, x + 1 i 5х + 1 є послідовними запишіть члени цієї членами геометричноï прогресії? У прогресії.​

Відповідь: х = 3 або х = -1/4

Пояснення:

За характеристичною властивістю геометричної прогресії, будь-який її член, крім першого, дорівнює середньому геометричному двох сусідніх, а також двох рівновіддалених членів. Звідси випливає, що квадрат цього члена дорівнює добутку цих двох сусідніх чи рівновіддалених членів.

(х+1)² = (х-2)*(5х+1)

х²+2х+1 = 5х²+х-10х-2

х²+2х+1-5х²-х+10х+2 = 0

х²-5х²+2х-х+10х+1+2 = 0

-4х²+11х+3 = 0

4х²-11х-3 = 0

D = (-11)² - 4*4*(-3) = 121 + 48 = 169 = 13²

х₁ = 11+13/2*4 = 24/8 = 3

х₂ = 11-13/2*4 = -2/8 = -1/4

Тепер підставимо отримані значення у дані нам вирази:

1) х = 3

х - 2 = 3 - 2 = 1

х + 1 = 3 + 1 = 4

5х + 1 = 5*3 + 1 = 15 + 1 = 16

1; 4; 16... - геометрична прогресія зі знаменником 4 (4/1 = 4, 16/4 = 4)

2) х = -1/4

х - 2 = -1/4 - 2 = -9/4

х + 1 = -1/4 + 1 = 3/4

5х + 1 = 5*(-1/4) + 1 = -5/4 + 1 = -1/4

-9/4; 3/4; -1/4... - геометрична прогресія зі знаменником -1/3 (3/4 / -9/4 = -1/3, -1/4 / 3/4 = -1/3)