3А) В равнобедренный треугольник с основанием 3 дм и бо ковой стороной 2,5 дм помещен равносторонний треугольник, площадь которого равна 2 дм². Какова вероятность того, что произвольно отмеченная точка равнобедренного треугольника принадлежит и равностороннему треугольнику?
Ответы на вопрос
Ответ:
Пусть ABC — равнобедренный треугольник с основанием AB=3 дм и боковой стороной AC=BC=2.5 дм, а DEF — вписанный в него равносторонний треугольник со стороной \sqrt{8} дм (так как его площадь равна 2 дм²). Обозначим точку, выбранную наугад на поверхности треугольника, через P
Чтобы точка принадлежала вписанному треугольнику, она должна лежать строго внутри окружности с центром в центре этого треугольника и радиусом \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{3}}, так как это расстояния от вершин до середины противолежащей стороны. По сколько эта окружность полностью содержится внутри основания большего трегульника (AB = 3 > \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{3}} \approx 1.63)), то вероятность того что случайная точка лягет строго всередину меньшего (выделенного) правильного труголбика будет \left(\frac{\pi r^2}{\triangle ABC}\right) = \left(\frac{(4/3)\pi}{(1/2)\cdot AB\cdot AC}\right) = \frac{8\pi}{45}.
Объяснение: