2. Сфера задана уравнением (x+1)2 + y2 +(z-3)2 = 25.
а) Покажите, что точка A(-1;3; -1) принадлежит сфере.
в)Запишите координаты вектора ОА, где О - центр сферы.
c)Составьте общее уравнение плоскости, касательной к
сфере, проходящей через точку А
d)Найдите расстояние от центра сферы до плоскости 2х-
у+2z-5=0 и определите взаимное расположение сферы и
данной плоскости.

Ответ:

а) Подставим координаты точки A(-1;3;-1) в уравнение сферы:

(-1+1)^2 + 3^2 + (-1-3)^2 = 25

0 + 9 + 16 = 25

25 = 25

Таким образом, точка А действительно принадлежит сфере.

б) Вектор ОА можно найти, вычитая координаты точки О(-1;0;3) из координат точки А:

OA = (-1+1; 3-0; -1-3) = (0; 3; -4)

в) Общее уравнение плоскости, касательной к сфере в точке А, имеет вид:

(x+1)dx + ydy + (z-3)*dz = 0,

где dx, dy, dz - координаты вектора, перпендикулярного к касательной плоскости. Найдем эти координаты, используя вектор ОА:

dx = 0

dy = 3

dz = -4

Таким образом, уравнение касательной плоскости имеет вид:

3y - 4z + 15 = 0

г) Расстояние от центра сферы О(-1;0;3) до плоскости 2х - у + 2z - 5 = 0 можно найти по формуле:

d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D|/sqrt(A^2 + B^2 + C^2),

где A, B, C, D - коэффициенты уравнения плоскости, (x0, y0, z0) - координаты центра сферы.

Подставляя значения, получаем:

d = |2*(-1) - 10 + 23 - 5|/sqrt(2^2 + (-1)^2 + 2^2) ≈ 3.3

Так как радиус сферы равен 5, а расстояние до плоскости меньше радиуса, то сфера и плоскость пересекаются.