Математика, вопрос задал versachexdior , 6 лет назад

#13
Найдите сумму всех целых n, где каждое из которых представляет сумма 16n+9 и 9n+16 является полным квадратом
A 29

B 53

C 37

D 42

versachexdior: Найдите сумму всех n целых чисел, каждое из которых представляет собой квадрат 16n + 9 и 9n + 16.

Guerrino: n натуральное или именно целое?

Guerrino: а, чушь спросил, простите

versachexdior: Найдите сумму всех целых n

spasibo3pajbrh: не очень понял, что значит представляет собой квадрат (16n+9) и (9n+16). "

versachexdior: можете тогда с другими задачами помочь

spasibo3pajbrh: 16n+9 является квадратом и 9n+16 является квадратом?

versachexdior: вопросы по математике до английского языка стоит тама 20 вопросов

versachexdior: оба

versachexdior: каждое из которых представляет собой квадрат 16n + 9 и 9n + 16.

Ответы на вопрос

Ответил Guerrino

Если $16n+9$ и $9n+16$ одновременно полные квадраты, то их произведение -- тоже, а потому $(16n+9)(9n+16) = 144n^2+337n+144 = z^2$ . Однако $144n^2+337n+144 = (12n+12)^2+49n = z^2$ , то есть $49n = 2(12n+12)t+t^2$ . Легко видеть, что для $t\geq 3$ решений уже нет. Потому остается проверить два случая: $49n = 2(12n+12)+1 \Leftrightarrow n=1$ и $49n=2(12n+12)2+4 \Leftrightarrow n=52$ . Они являются решениями. Их сумма -- $53$ .