11. Miж числом 3 і невідомим числом розмістили ще одне число так, що всі три
Числа утворюють зростаючу арифметичну прогресію. Якщо середній член цієї
прогресії зменшити на 6, то отримаємо геометричну прогресію. Знайти невідоме
число. (даю 40 баллов) ​

Пусть d - знаменатель получившейся арифметической прогрессии, причем d > 0

тогда

(3+d) второе число этой прогрессии

(3+2d)  - третье (искомое) число этой прогрессии

По условию если средний член этой прогрессии уменьшить на 6, то получим геометрическую прогрессию, т.е.

(3+d) - 6 = (d-3)

Числа

3;  (d-3);   (3+2d)

образуют геометрическую прогрессию.

Получаем уравнение:

(d-3) : 3 = (3+2d) : (d-3)    

(d-3)²  = 3 · (3+2d) = (d-3)²

d² - 6d + 9 = 9 + 6d

d² - 6d + 9 - 9 - 6d = 0

d² - 12d = 0

d·(d - 12) = 0

d₁ = 0 (не подходит, т.к. d>0)

d - 12 = 0    =>   d₂ = 12

3 + 2 · 12 = 27  - невідоме число.

Вiдповiдь: 27