1) Знайди найбільше та найменше значення виразу 2sin^2a-3cos^2a
2)Спростіть вираз...

Відповідь:1) Для знаходження найбільшого та найменшого значення виразу 2sin^2a-3cos^2a скористаємося тригонометричними тотожностями. Використовуючи тотожність sin^2a + cos^2a = 1, можемо переписати вираз у наступний спосіб:

2sin^2a - 3cos^2a = 2(1-cos^2a) - 3cos^2a = 2 - 2cos^2a - 3cos^2a = 2 - 5cos^2a.

Тепер знайдемо найбільше та найменше значення виразу. Максимальне значення досягається, коли cos^2a = 0 (тобто a = π/2 + kπ, де k - ціле число), тоді 2 - 5cos^2a = 2 - 5*0 = 2. Мінімальне значення досягається, коли cos^2a = 1 (тобто a = kπ, де k - ціле число), тоді 2 - 5cos^2a = 2 - 5*1 = -3.

Отже, найбільше значення виразу 2sin^2a-3cos^2a дорівнює 2, а найменше значення дорівнює -3.

2) Щоб спростити вираз, скористаємося тригонометричними тотожностями. Запишемо sin(α+β) та sin(α-β) через sinα, sinβ, cosα та cosβ:

sin(α+β) = sinα*cosβ + cosα*sinβ

sin(α-β) = sinα*cosβ - cosα*sinβ

Тепер обчислимо sin(α+β)*sin(α-β):

sin(α+β)*sin(α-β) = (sinα*cosβ + cosα*sinβ)*(sinα*cosβ - cosα*sinβ)

= sin^2α*cos^2β - cos^2α*sin^2β

Отже, ми отримали спрощений вираз: sin(α+β)*sin(α-β) = sin^2α*cos^2β - cos^2α*sin^2β

Пояснення: