Математика, вопрос задал tiklassnui , 6 лет назад

1)y=x^2-arcsin3x

2)y=10^x*log5x

3)y= x^3+sinx/x^2+3 (/ дробная черта)

4)y=√3x^2+5cosx
найти производную функций

Ответы на вопрос

Ответил kamilmatematik100504

Ответ:

$1) ~ 2x -\dfrac{3}{\sqrt{1-9x^2} }$

$2)~ 10^x \bigg (\ln 10 \cdot \log _5x+ \dfrac{1}{x\ln 5} \bigg)$

$3) ~ \displaystyle \frac{x^4 + x^2 \cos x+ 9 \cos^2x -2x\sin x+ 3 \cos x}{(x^2+3)^2}$

$4) ~ \dfrac{6x - 5 \sin x }{2\sqrt{3x^2+5 \cos x} }$

Пошаговое объяснение:

Для решения будем использовать формулы

$1) ~ (u\pm v) ' = u' - v' \\\\\ 2) ~( a^x) '= a^x \cdot \ln a \\\\ 3) ~( \arcsin u ) ' = \dfrac{u'}{\sqrt{1- u^2 } } \\\\ 4) ~ (u \cdot v)' = u 'v + uv' \\\\ 5) ~( \log _a x ) ' = \dfrac{1}{x \ln a } \\\\ 6) ~ \bigg ( \dfrac{u}{v} \bigg ) ' = \dfrac{u' v - uv'}{v^2 } \\\\ 7 ) ~ (f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x)$

Тогда

$1) ~ y = x^2 - \arcsin 3x$

Воспользуемся 1-й и 3-й формулой

$y ' = (x^2 - \arcsin 3x ) ' = 2x - \dfrac{(3x)'}{\sqrt{1- (3x)^2} } = \boxed{2x -\dfrac{3}{\sqrt{1-9x^2} } }$

$2) ~ y = 10^x \cdot \log _5 x$

Воспользуемся 2,4,5 формулами

$y ' = (10^x \cdot \log _5 x ) ' = (10^x)' \cdot \log _5 x+ 10^x \cdot (\log _5 x)' = \\\\\\ 10^x \cdot \ln 10 \cdot \log _5 x + 10^x \cdot \dfrac{1}{x \cdot \ln5} = \boxed{10^x \bigg (\ln 10 \cdot \log _5x+ \dfrac{1}{x\ln 5} \bigg)}$

$3) ~ y = \dfrac{x^3 +\sin x}{x^2 +3 }$

Воспользуемся 6-й и 1-й формулой

$\displaystyle y ' = \bigg ( \dfrac{x^3 +\sin x}{x^2 +3 } \bigg ) ' = \frac{(x^3+\sin x)'(x^2+3) - (x^3+ \sin x) (x^2+3)'}{(x^2+3)^2} = \\\\\\ \frac{(3x^2+\cos x)(x^2+3) - (x^3+\sin x)\cdot 2x }{(x^2 +3)^2 } = \\\\\\\ \frac{3x^4+x ^2 \cos x + 9 x^2 +3\cos x -2x^4 - 2x \sin x }{(x^2+3)^2 } = \\\\\\ \boxed{\frac{x^4 + x^2 \cos x+ 9 \cos^2x -2x\sin x+ 3 \cos x}{(x^2+3)^2}}$

$4) ~ y = \sqrt{3x^2+ 5 \cos x }$

Воспользуемся 7-й и 1-й формулой

$y = \sqrt{3x^2+ 5 \cos x } =(3x^2+ 5 \cos x )^{\tfrac{1}{2} } \\\\\\ y ' =\Big( (3x^2+ 5 \cos x )^{\tfrac{1}{2}} \Big ) ' = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{3x^2+ 5 \cos x }} \cdot (3x^2+ 5 \cos x ) ' = \\\\\\ \boxed{\dfrac{6x - 5 \sin x }{2\sqrt{3x^2+5 \cos x} }}$