1. Точки А( -7; 3; 2); В(-3; -2; 2) і С( -7; 7; -1) вершини трикутника АВС. Знайдіть площу цього трикутника .
2. Обчисліть об’єм піраміди з вершинами у точках A (7; 2; 2); B (5; 7; 7); C (5; 3; 1); D (2; 3; 7).

1. Даны точки А( -7; 3; 2); В(-3; -2; 2) и С( -7; 7; -1).
Находим длины сторон треугольника.
d = √((х2 - х1 )² + (у2 - у1 )² + (z2 – z1 )²).
 Вектор АВ (4; -5; 0).  L(AB) = √(16+25+0)= √41 ≈  6,4031242.
 Вектор ВС( -4; 9; -3). L(BC) = √(16+81+9) = √106 ≈  10,2956301.
 Вектор АС (0; 4; -3).  L(AC) =  √(0+16+9) = √25 = 5.
Теперь по формуле Герона находим площадь.
Треугольник АВС
a(ВС)          b(АС)        c(АВ)                p                       2p                S
10,29563     5          6,403124     10,84937719      21,6987544       12,5
   cos A = -0,62469505         cos B = 0,925305139       cos С = 0,8741573 Аrad = 2,24553727            Brad = 0,38895688               Сrad = 0,5070985 Аgr = 128,659808              Bgr = 22,28558765              Сgr = 29,054604.
Ответ: S = 12,5.

2) Даны координаты пирамиды: A1(7,2,2), A2(5,7,7), A3(5,3,1), A4(2,3,7)
1) Координаты векторов.
Координаты векторов находим по формуле:
X = xj - xi; Y = yj - yi; Z = zj - zi
здесь X,Y,Z координаты вектора; xi, yi, zi - координаты точки Аi; xj, yj, zj - координаты точки Аj;
Например, для вектора A1A2 (AB):
X = x2 - x1; Y = y2 - y1; Z = z2 - z1
X = 5-7; Y = 7-2; Z = 7-2
A1A2(-2;5;5)    (AB)
A1A3(-2;1;-1)  (AC)
A1A4(-5;1;5)    (AD)
A2A3(0;-4;-6)    (BC)
A2A4(-3;-4;0)    (BD)
A3A4(-3;0;6)     (CD).

2) Объем пирамиды.
Объем пирамиды, построенный на векторах a1(X1;Y1;Z1), a2(X2;Y2;Z2), a3(X3;Y3;Z3) равен:
X1   Y1   Z1
X2  Y2    Z2
X3  Y3   Z3
-2    5    5
-2     1   -1
-5    1     5
Находим определитель матрицы
∆ = (-2)*(1*5-1*(-1))-(-2)*(5*5-1*5)+(-5)*(5*(-1)-1*5) = 78
V = (1/6)*78 = 13.