1)Составить уравнение прямой,проходящей через точки А(0;1)и В( 3;-2)
2)Определить угол между прямыми у=-2х+2,у=3х-1
3)Треугольник на плоскости задан своими вершинами: А(1;2),В(-2;1),С(2;3).
Найти длину его высота ,опущенной из вершины В.

1) Даны точки А(0;1)и В( 3;-2).

Вектор АВ: (3; -3).

Уравнение АВ: (х/3) = (у - 1)/(-3).

2) Если прямая задана общим уравнением Ax + By + C = 0, то вектор  

p(-B; A) является направляющим вектором данной прямой.

Заданные уравнения у = -2х + 2, у = 3х - 1 покажем в общем виде:

2х + y  - 2 = 0,  -3х + y + 1 = 0.

Отсюда получаем направляющие векторы прямых:

a =  (-1; 2).  

b =  (-1; -3).  

Вычислим угол между прямыми воспользовавшись формулой:

cos φ =   | a · b | / (| a |·| b |) =   | ax · bx + ay · by | / (√(ax² + ay²) · √(bx² + by²))  =

=   | (-1) · (-1) + 2 · (-3) | /(√((-1)² + 2²) · √((-1)² + (-3)²))  =

=   | 1 - 6 | /(√(1 + 4) · √(1 + 9))  =

=   5 /(√5 · √10)  =

=   5/ √50  =   √2/ 2  ≈ 0.70711.

φ = 45°.

3) Даны вершины: А(1;2), В(-2;1), С(2;3).

Уравнение АС. Вектор АС: (1; 1).

(х - 1)/1 = (у - 2)/1.

Уравнение АС: у = х + 1.

Угловой коэффициент перпендикуляра равен -1/к(АС) = -1/1 = -1.

Уравнение имеет вид у = -х + в. Подставим координаты точки В.

1 = -1*(-2) + в, отсюда в = 1 - 2 = -1.

Уравнение высоты: у = -х - 1.

Находим основание высоты как точку пересечения высоты и стороны АС.

-х - 1 = х + 1,

2х = -2,

х = -1,  у = -1*(-1) - 1 = 0.

Длина равна: √(-1-3)² + (0-(-2))²) = √(16 + 4) = √20 = 2√5.