1)доказать что (1+а1)(1+а2).. (1+an) _>2n , где а1;а2; ..положительные числа и а1*а2..аn=1                          

 

2)через точку пересечения медиан равностороннего треугольника проведен отрезок параллелен к одной из сторон. найти его длину если сторона треугольника равна 6 см.

1) Согласно соотношению между средним арифметическим и средним геометрическим   1 + а₁ ≥ 2 * √а₁ ;  1 + а₂ ≥ 2 * √а₂ ; ... ; 1 + аn ≥ 2 * √аn

Перемножив все эти соотношения, получаем

(1+а1)*(1+а2)*...* (1+an) ≥ 2 * √а₁ * 2 * √а₂ *...* 2 * √аn = 

2^n * √ (а₁ * а₂ *...*an) = 2^n

2) Поскольку медианы точкой пересечения делятся в отношении 2 : 1, считая от вершины, то отношение расстояния от данной точки до вершины треугольника к длине медианы равно 2 : 3 и соответственно длина данного отрезка равна 2/3 стороны треугольника, то есть 4 см.